Question

【题目】已知分别是椭圆C: 的左、右焦点，其中右焦点为抛物线的焦点，点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设与坐标轴不垂直的直线过与椭圆C交于A、B两点，过点且平行直线的直线交椭圆C于另一点N，若四边形MNBA为平行四边形，试问直线是否存在？若存在，请求出的斜率；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线不存在.

【解析】试题分析：（1）根据点在椭圆上以及题目中的条件得到，进而得到椭圆方程；（2）因为四边形MNBA为平行四边形，所以|AB|=|MN|，联立直线和椭圆得到二次方程，根据弦长公式可得到方程，进而解得参数值.

解析：

（1）由的焦点为（1,0）可知椭圆C的焦点为

又点在椭圆上，得，

椭圆C的标准方程为

（2）由题意可设直线的方程为， 由得，所以.

所以|AB|==.

又可设直线MN的方程为， 由得，因为，所以可得。|MN|==.

因为四边形MNBA为平行四边形，所以|AB|=|MN|.

即， ，

但是，直线的方程过点，即

直线AB与直线MN重合，不合题意，所以直线不存在.