Question

【题目】设函数．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，证明：．

Answer 1

【答案】（1）当，取得极小值；当时，取得极大值；（2）见解析．

【解析】【试题分析】(1)当时,利用导数写出函数的单调区间,进而求得函数的极值.(2)当时,化简原不等式得,分别利用导数求得左边对应函数的最小值,和右边对应函数的最大值, 最小值大于最大值,即可证明原不等式成立.

【试题解析】

（1）当时，，

，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

所以，当，取得极小值；

当时，取得极大值．

（2）证明：当时，，，

所以不等式可变为．

要证明上述不等式成立，即证明．

设，则，

令，得，

在上，，是减函数；

在上，，是增函数．

所以．

令，则，

在上，，是增函数；在上，，是减函数，

所以，

所以，即，即，

由此可知．