Question

复数z₁＝1＋2i，z₂＝－2＋i，z₃＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数(如下图)．

Answer 1

答案：2+i
解析：

探究：利用，求点D的对应复数．也可利用原点O恰好是正方形ABCD的中心来解． 　　解法一：设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四面点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，于是： 　　对应的复数为 　　(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i； 　　对应的复数为 　　(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i． 　　∵，即(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， 　　∴，解得 　　故点D对应的复数为2－i． 　　解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0， 　　∴x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i． 　　规律总结：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用．