Question

（理）已知⊙：和定点，由⊙外一点向⊙引切线，切点为，且满足．
(1)求实数间满足的等量关系；
(2)求线段长的最小值；
(3)若以为圆心所作的⊙与⊙有公共点，试求半径取最小值时的⊙方程．

Answer 1

（1）；（2）；（3）

试题分析：（1）连接OP,OQ，

则，在中，，且 ，结合两点之间距离公式可得关于的等式；（2）在中，，是含有的二元函数，结合（1）可得关于的一元函数，求其最小值即可；（3）方法一：因为⊙与⊙有公共点，则得圆心距和其半径的关系即，要求半径的最小值，只需最小，将用两点之间距离公式表示出来，求其最小值并求取的最小值时，得⊙的圆心，进而求出圆的标准方程；方法二：由（1）知⊙的圆心的轨迹方程为：，过点作垂直于的垂线，垂足为，当两圆外切且以为圆心时，半径最小，此时，两条直线求交点确定圆心，从而求出圆的 标准方程.
试题解析：（1）连为切点，，由勾股定理有，又由已知，故.即：，化简得实数a、b间满足的等量关系为：；（2）由，得，=
，故当时，即线段PQ长的最小值为 ；
（3）方法一：设圆P的半径为，圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，即且，而，故当时，此时, ，，得半径取最小值时圆P的方程为．
方法二：圆与圆有公共点，圆 半径最小时为与圆外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1，圆心为过原点与垂直的直线 与的交点， ,又：x－2y = 0,解方程组，得.即,∴所求圆方程为.