题目内容

如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b．a≤3b，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且都等于x，则四边形EFGH面积的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：题意可得a＞b＞0，a≤3b，四边形EFGH面积S=ab-2[ $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ （a-x）（b-x）]=-2x²+（a+b）x，0＜x≤b．再利用二次函数的性质求得它的最大值．
解答：由题意可得a＞b＞0，a≤3b，且S_△AEH=S_△CFG= $\text{[math]}$ x²，S_△BEF=S_△DGH= $\text{[math]}$ （a-x）（b-x），且 0＜x≤b．
故四边形EFGH面积S=ab-2[ $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ （a-x）（b-x）]=-2x²+（a+b）x．
再由a≤3b可得 $\text{[math]}$ ≤b，故当x= $\text{[math]}$ 时，S取得最大值为 $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查二次函数的性质应用，属于中档题．

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（Ⅱ）求证：PO⊥面ABCE．

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