Question

合肥一中每年五月举行校园微型博览会，在会馆入口处准备了A，B，C三种形式的校长签名纪念卡片供参观同学抽取．
（Ⅰ）若有大量纪念卡，其中20%的A卡，现抽取了5张，求其中A卡的张数X的分布列及其数学期望E（X）；（注：在总体数量特别大时，无放回抽样可以近似看作有放回抽样）
（Ⅱ）活动结束，剩余若干纪念卡，从中任意抽取1张纪念卡，得到A卡的概率是

3

7

，任意抽取2张卡，没有B卡的概率是

1

4

，求证：任意抽取2张卡，至少得到1张A卡的概率不大于

5

7

，并指出余下的卡中哪种卡最少．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）抽取的5张中A卡的张数X～B（5，0.2），可求A卡的张数X的分布列及其数学期望E（X）；
（Ⅱ）假设其余n张卡，A卡有m张，则2m＜n，即2m≤n-1，任取2张卡，至少得到1张A卡的概率P=

3

7

+

4

7

•

m-1

n-1

，即可证明结论；求出任意抽取2张卡，至少得到1张B卡的概率，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：抽取的5张中A卡的张数X～B（5，0.2），分布列为

X	0	1	2	3	4	5
P	C 0 5 •0．85	C 1 5 •0.2•0．84	C 2 5 •0．22•0．83	C 3 5 •0．23•0．82	C 4 5 •0．24•0.8	0.25

E（X）=5×0.2=1；
（Ⅱ）证明：假设其余n张卡，A卡有m张，则2m＜n，即2m≤n-1．
任取2张卡，至少得到1张A卡的概率P=

3

7

+

4

7

•

m-1

n-1

，
∵

m-1

n-1

＜

m

n-1

≤

1

2

，
∴P＜

5

7

；
由于任意抽取2张卡，至少得到1张B卡的概率是1-

1

4

=

3

4

＞

5

7

，
∴B卡多于A卡，超过

3

7

，
∴C卡所占比例少于1-

3

7

-

3

7

=

1

7

，
∴C卡最少．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．