Question

【题目】已知函数f（x）=2acos2x+2 bsinxcosx，且f（0）=2，f（ ）= +1．
（1）求f（x）的最大值及单调递减区间；
（2）若α≠β，α，β∈（0，π），且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= ；

∴f（0）=2a=2；

∴a=1；

又 ；

∴b=1；

∴ = ；

∴ ，即 时，f（x）取得最大值3；

令 得， ；

∴f（x）的单调递减区间为

（2）解：由f（α）=f（β）得， ；

∵α≠β，α，β∈（0，π）；

∴ ， ；

∴ ，或3π；

∴ ，或 ；

∴

【解析】（1）根据二倍角公式可以化简f（x）得到f（x）= ，根据f（0）=2， 便可求出a=1，b=1，从而得出 ，容易得到f（x）的最大值为3，而根据正弦函数的单调性便可得出该函数的单调递减区间；（2）根据条件得到 ，而 ，且 ，从而便可得到 ，或3π，进一步便可得出α+β的值，从而可求出tan（α+β）的值．