Question

已知|

OA

|=4，|

OB

|=6，

OC

=x

OA

+y

OB

，且x+2y=1，∠AOB是钝角，若f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值为2

3

，则|

OC

|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根据f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值为2

3

，作出向量

OA

-t

OB

，根据图形，可知当

OA

-t

OB

⊥

OB

时，f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值为2

3

，可以求出∠AOB，根据|

OC

|2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy

OA

• 

OB

，并把|

OA

|=4，|

OB

|=6代入，并利用二次函数求最值，即可求得结果．

解答：解：f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值为2

3

，
∴根据图形知，当

OA

-t

OB

⊥

OB

时，f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值为2

3

，
∵|

OA

|=4，∴∠AOB=120°，
∵

OC

=x

OA

+y

OB

，且x+2y=1，
∴|

OC

|2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy

OA

• 

OB

=16x²+36y²-24xy=16（1-2y）²+36y²-24（1-2y）y
=148y²-88y+16≥

108

37

．
∴|

OC

|的最小值是

6 111

37

；
故答案为

6 111

37

．

点评：此题属难题．考查向量和差的模的最值，利用作图求得f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值为2

3

，以及此时两向量的夹角是解题的关键，体现了数形结合的思想，同时考查了灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力．