Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝3，AC⊥BC，点M在线段AB上．

（1）若M是AB中点，证明AC1∥平面B1CM；

（2）当BM时，求直线C1A1与平面B1MC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连结BC1，交B1C于E，连结ME．利用三角形的中位线证得，由此证得平面.

（2）以为原点建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.

（1）证明：连结BC1，交B1C于E，连结ME．

∵侧面BB1C1C为矩形，

∴E为BC1的中点，又M是AB的中点，

∴ME∥AC1．

又ME平面B1CM，AC1平面B1CM，

∴AC1∥平面B1CM．

（2）以C为原点，以CB，CA，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系C﹣xyz如图所示：

则B1（0，3，3），A1（3，0，3），A（3，0，0），B（0，3，0），C1（0，0，3），AB＝3，∴BMBA．

∴（0，3，3），（1，2，0），（3，0，0）．

设平面B1MC的法向量为（x，y，z），则0，，

∴，令z＝1得（2，﹣1，1）．

∴cos，．

故当BM时，直线C1A1与平面B1MC所成角的正弦值为．