Question

10．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x-θ）的定义域为R，设θ∈[0，2π]，若f（x）为偶函数，求θ的值．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义结合两角和差的正弦和余弦公式进行求解即可．

解答 解：∵f（-x）=sin（-x+θ）+cos（-x-θ）=sinθcosx-cosθsinx+cosxcosθ-sinxsinθ，
∴若函数为偶函数，则f（-x）=f（x），
即sinθcosx-cosθsinx+cosxcosθ-sinxsinθ=sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ
∴-cosθsinx-sinxsinθ=f（x）=sinxcosθ+sinxsinθ
∴-2sinxcosθ=2sinxsinθ
∴sinx（sinθ+cosθ）=0
∴θ=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵θ∈[0，2π]，
∴当k=1时，θ=$\frac{3π}{4}$，
当k=2时，θ=$\frac{7π}{4}$，
故θ=$\frac{3π}{4}$或θ=$\frac{7π}{4}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，结合两角和差的正弦和余弦公式是解决本题的关键．