题目内容
△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且
+
=2
，|
|=
|
|，则
•
的值是（ ）
| AB |
| AC |
| AO |
| AB |
| 3 |
| OA |
| CA |
| CB |
分析：根据题中的向量等式可知AO是△ABC的边BC上的中线，可得△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．然后在等腰△ABO中利用余弦定理，算出∠AOB=120°，进而得到∠C=60°．最后结合向量数量积公式和△ABC的边长，即可得出
•
的值．
| CA |
| CB |
解答：解：∵
+
=2
，
∴AO是△ABC的边BC上的中线，
∵O是△ABC外接圆的圆心
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形
∵等腰△ABO中，|
|=|
|=1，|
|=
|
|=
∴cos∠AOB=
=-
，可得∠AOB=120°
由此可得，∠B=30°，∠C=90°-30°=60°，且△ACO是边长为1的等边三角形
∵Rt△ABC中，|
|=1，|
|=2
∴
•
=|
|•|
|cos60°=1
故选：D
| AB |
| AC |
| AO |
∴AO是△ABC的边BC上的中线，
∵O是△ABC外接圆的圆心
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形
∵等腰△ABO中，|
| OA |
| OB |
| AB |
| 3 |
| OA |
| 3 |
∴cos∠AOB=
| 1+1-3 |
| 2×1×1 |
| 1 |
| 2 |
由此可得，∠B=30°，∠C=90°-30°=60°，且△ACO是边长为1的等边三角形
∵Rt△ABC中，|
| CA |
| CB |
∴
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
故选：D
点评：本题给出三角形ABC外接圆心O，在已知AO是BC边的中线情况下求
•
的值．着重考查了直角三角形的性质、余弦之理和向量数量积运算公式等知识，属于中档题．
| CA |
| CB |
练习册系列答案
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