Question

已知cos（α+

π

2

）=

4

5

，且α∈(

3π

2

，2π)，则sin2α=

 

．

Answer 1

分析：把已知的等式利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，求出sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．

解答：解：由cos（α+

π

2

）=cosαcos

π

2

-sinαsin

π

2

=-sinα=

4

5

，
得到sinα=-

4

5

，又α∈(

3π

2

，2π)，所以cosα=

1-(- 4 5 )2

=

3

5

，
则sin2α=2sinαcosα=2×（-

4

5

）×

3

5

=-

24

25

．
故答案为：-

24

25

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简求值，灵活运用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．