Question

13．已知a≤$\frac{1-x}{x}$+lnx对任意$x∈[\frac{1}{2}，2]$恒成立，则a的最大值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 构造函数令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，利用导函数判断函数的单调性，利用单调性求出其最小值即可．

解答 解：令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，
∴f'（x）=$\frac{1}{x}$（1-$\frac{1}{x}$），
当x∈[$\frac{1}{2}$，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）递增；
∴f（x）≥f（1）=0；
∴a≤0．
故选A．

点评 考查了恒成立问题，需转换为最值，用到导函数求函数的极值，应熟练掌握．