Question

（2013•镇江二模）已知数列{b_n}满足b1=

1

2

，

1

bn

+bn-1=2(n≥2，n∈N*)．
（1）求b₂，b₃，猜想数列{b_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）设x=

b

n n

，y=

b

n+1 n

，比较x^x与y^y的大小．

Answer 1

分析：（1）由b₁=

1

2

，

1

bn

+b_n-1=2（n≥2，n∈N^*）可求b₂，b₃，从而可猜想数列{b_n}的通项公式，用数学归纳法证明即可；
（2）利用指数幂的运算性质可求得x^x与y^y，比较可知，二者相等．

解答：解：（1）∵b₁=

1

2

，

1

bn

+b_n-1=2（n≥2，n∈N^*），
∴

1

b2

=2-b₁=2-

1

2

=

3

2

，
∴b₂=

2

3

；
同理可求，b₃=

3

4

，于是猜想：b_n=

n

n+1

．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，b₁=

1

2

，结论成立；
②假设n=k时，b_k=

k

k+1

，
则n=k+1时，∵

1

bk+1

+b_k=2，
∴

1

bk+1

=2-

k

k+1

=

k+2

k+1

，
∴b_k+1=

k+1

(k+1)+1

，
即n=k+1时结论也成立；
综上所述，对任意n∈N^*，b_n=

n

n+1

均成立．
（2）∵x=

b

n n

=(

n

n+1

)n，y=

b

n+1 n

=(

n

n+1

)n+1，
∴x^x=[(

n

n+1

)n](

n

n+1

)n=(

n

n+1

)

nn+1

(n+1)n

，
y^y=[(

n

n+1

)n+1](

n

n+1

)n+1=(

n

n+1

)

nn+1

(n+1)n

，
∴x^x=y^y．

点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，考查推理论证与综合运算能力，比较x^x与y^y的大小是难点，属于难题．