Question

数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=S_n（n≥1，n∈N*），数列{b_n}是等差数列，其公差d＞0，b₁=1，且b₃、b₇+2、3b₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a_n+1=S_n，根据求得数列{a_n}通项公式，数列{b_n}是等差数列，其公差d＞0，b₁=1，且b₃、b₇+2、3b₉成等比数列，求出数列{b_n}的公差，可求得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的结果代入c_n=a_nb_n，利用错位相减法求得{c_n}的前n项和T_n．
解答：解：（I）由已知有S_n+1-S_n=S_n，即S_n+1=2S_n（n∈N^*），
∴{S_n}是以S₁=a₁=1为首项，2为公比的等比数列．
∴S_n=2^n-1．
由得
∵b₃，b₇+2，3b₉成等比数列，
∴（b₇+2）²=b₃•3b₉，即（1+6d+2）²=（1+2d）•3（1+8d），
解得d=1或d=（舍），
∴b_n=1+（n-1）×1=n．
（II）T_n=a₁b₁+a₂b₂++a_nb_n=1×1+2×2+3×2¹++n×2^n-2，
设T=2×2+3×2¹++n×2^n-2，
∴2T=2×2¹+3×2²++n×2^n-1，
相减得-T=2+2¹+2²++2^n-2-n•2^n-1==（1-n）•2^n-1，
即T=（n-1）•2^n-1，
∴T_n=1+（n-1）•2^n-1（n∈N*）．
点评：考查等差数列求通项公式，及利用求得数列{a_n}通项公式的方法，体现分类讨论的思想方法，属中档题．