Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 2 2 + 3 2 t

（t为参数），若以直角坐标系x0y的O点为极点，0x为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-

π

4

)．
（1）求直线l的倾斜角；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB．

Answer 1

分析：（1）根据直线参数方程的意义，可得直线l的倾斜角为α满足余弦等于

1

2

且正弦等于

3

2

，由此即可得到直线l的倾斜角α；
（2）将曲线C化成直角坐标方程，得它是（

2

2

，

2

2

）为圆心且半径为1的圆，由点到直线的距离公式算出弦AB到圆心的距离，最后根据垂径定理可算出弦AB的长．

解答：解：（1）设直线l的倾斜角为α，根据直线参数方程的意义，得

cosα= 1 2 sinα= 3 2

且α∈[0，π），可得α=

π

3

，
∴即直线l的倾斜角为

π

3

…（5分）
（2）由（1）得直线l是经过点（0，

2

2

），且倾斜角为

π

3

的直线，斜率k=tan

π

3

=

3

∴直线l的直角坐标方程为y=

3

x+

2

2

，
而曲线C：ρ=2cos(θ-

π

4

)，即ρ²=

2

ρcosθ+

2

ρsinθ，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=

2

x+

2

y，整理得（x-

2

2

）²+（y-

2

2

）²=1
可得曲线C是以（

2

2

，

2

2

）为圆心，半径为1的圆
∵C到直线l的距离d=

| 6 2 |

3+1

=

6

4

，
∴线段AB的长为2

12-( 6 4 )2

=

10

2

  …（10分）

点评：本题给出直线性的参数方程和圆的极坐标方程，求直线被圆截得弦AB的长，着重考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．