Question

已知函数．
（1）求证：函数在区间上存在唯一的极值点；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

解析试题分析：（1）先求与，看两值是否异号，然后证明在[0，1]上单调性，即可证明函数在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（2）由得：，令，则， . 令，则，，，
所以在上单调递增，，对a进行和讨论得出结论．
试题解析：（1），          1分
∵，，
∴， ∴在区间上存在零点．          3分
令 ，则，
∴在区间上单调递增，                5分
∴在区间上存在唯一的极小值点．           6分
（2）由得：，
令，则，
令，则，，，
所以在上单调递增，.          9分
（1）当时，恒成立，即，
所以在上单调递增，  .           11分
（2）当时，存在使，即，
当时，，所以在上单调递减，
，这与对恒成立矛盾.
综合（1）、（2）得：.                 14分
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．