设为实数.函数．(1)求的单调区间与极值, (2)求证:当且时.．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设为实数，函数．
（1）求的单调区间与极值；
（2）求证：当且时，．

(1)在上减,在上增;当时,取极小值（2）见解析

解析试题分析：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．
（1）由，知，令，得到
，列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．
（2）设，于是，由（1）知当a＞ln2-1时，最小值为.于是对任意x∈R，都有，所以g（x）在单调递增．由此能够证明.
试题解析：（1）由，知，令，得到
，故在上单调递增，在上单调递减，当时,
，即取极小值
（2）设函数,则,由（1）知的极小值也是最小值为，当时，，即在内，的最小值，恒成立，即在内，在单调递增，即即
考点：函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明

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一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m³），表面积为S（单位：m²）．

（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．

已知函数．
（1）求证：函数在区间上存在唯一的极值点；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围.

已知函数，，其中．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

已知函数，其中m，a均为实数．
（1）求的极值；
（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．

已知函数（），其中．
（1）若曲线与在点处相交且有相同的切线，求的值；
（2）设，若对于任意的，函数在区间上的值恒为负数，求的取值范围．

已知函数f(x)=x²，g(x)＝2elnx(x>0)(e为自然对数的底数）．
（1)求F(x)=f(x)－g(x)(x>0)的单调区间及最小值；
（2)是否存在一次函数y=kx+b(k，bR)，使得f(x)≥kx十b且g(x)≤kx＋b对一切x>0恒成立？若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由．

若，其中．
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）当时，若，恒成立，求的取值范围．

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