Question

19．关于函数f（x）=sinxcosx的性质的描述，不正确的是（　　）

• A． 任意x∈R，f（π+x）=f（x）
• B． 任意x∈R，$f（\frac{π}{2}+x）=f（\frac{π}{2}-x）$
• C． 不存在${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使f（x₀）=0
• D． 不存在${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使$f（{x_0}）＞\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用二倍角公式，求出函数的对称轴与函数的周期，判断选项即可．

解答 解：函数f（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x，函数的周期为：π，任意x∈R，f（π+x）=f（x）正确．
对称轴为：x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
所以任意x∈R，$f（\frac{π}{2}+x）=f（\frac{π}{2}-x）$不正确；
当${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使f（x₀）∈（0，$\frac{1}{2}$]．所以不存在${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使f（x₀）=0正确；
当${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使f（x₀）∈（0，$\frac{1}{2}$]．所不存在${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，使$f（{x_0}）＞\frac{1}{2}$正确．
故选：B．

点评 本题考查三角函数的简单性质的应用，命题的真假的判断，考查计算能力．