题目内容

已知抛物线C₁：y²=2px和圆 $数学公式$ ，其中p＞0，直线l经过C₁的焦点，依次交C₁，C₂于A，B，C，D四点，则 $数学公式$ 的值为________．

$\text{[math]}$
分析：法一：利用特殊位置法解决，当直线l垂直x轴时就可得结果．
法二：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|-|BF=x₁+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =x₁，同理|CD|=x₂，由此能够求出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的值．
解答：法一：当直线l垂直于x轴时，
|AB|=|CD|=p- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
法二：设抛物线的焦点为F，
则|AB|=|AF|-|BF=x₁+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =x₁，
同理|CD|=x₂，
又 $\text{[math]}$ =|AB||CD|=x₁x₂= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

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已知抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的焦点为F₂，其准线与x轴交于点F₁，以F₁，F₂为焦点，离心率为

的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的标准方程及其右准线的方程；
（2）用m表示P点的坐标；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

已知抛物线C₁：y²=x+7，圆C₂：x²+y²=5．
（1）求证抛物线与圆没有公共点；
（2）过点P（a，0）作与x轴不垂直的直线l交C₁，C₂依次为A、B、C、D，若|AB|=|CD|，求实数a的变化范围．

（2012•河北模拟）已知抛物线C₁：y²=2px和圆C2：(x-

，其中p＞0，直线l经过C₁的焦点，依次交C₁，C₂于A，B，C，D四点，则

已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：

=1，(a＞b＞0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知

，求证：λ₁+λ₂为定值．
（Ⅲ）直线l交椭圆C₂于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P'、Q'，

+1=0，若点S满足：

，证明：点S在椭圆C₂上．

已知抛物线C₁：y²=4x，圆C₂：（x-1）²+y²=1，过抛物线焦点F的直线l交C₁于A，D两点（点A在x轴上方），直线l交C₂于B，C两点（点B在x轴上方）．
（Ⅰ）求|AB|•|CD|的值；
（Ⅱ）设直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为m、n、p、q，且满足m+n+p+q=3

，并且|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，求出所有满足条件的直线l的方程．