Question

设函数f（x）=log₂（4-x），g（x）=log₂x．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）+g（x）的值域；
（3）如果对任意的x∈[1，4]不等式（4-2g（x））•f（4-x）-k≤0求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的真数部分大于0，构造不等式，解得f（x）的定义域；
（2）由对数的真数大于0可得f（x）+g（x）的定义域，将函数解析式化成log₂[x（4-x）]后，考虑x（1-x）这个二次函数的值域，即可得出结论．
（3）令y=（4-2g（x））•f（4-x），x∈[1，4]，求出函数的最大值，进而可得实数k的取值范围．

解答： 解：（1）要使f（x）的解析式有意义，
自变量x须满足：4-x＞0，
即x＜4，
故f（x）的定义域为（-∞，4）；
（2）y=log₂x+log₂（4-x）中，x＞0且4-x＞0，
故f（x）+g（x）的定义域是（0，4）；
∵函数y=log₂x+log₂（4-x）=log₂[x（4-x）]
∵0＜x＜4，
∴0＜x（4-x）≤4
∴log₂[x（4-x）]≤2，
∴函数y=log₂x+log₂（4-x）的值域为（-∞，2]．
（3）若不等式（4-2g（x））•f（4-x）-k≤0对任意的x∈[1，4]恒成立，
则k≥（4-2g（x））•f（4-x）对任意的x∈[1，4]恒成立，
令y=（4-2g（x））•f（4-x）
=（4-2log₂x）•log₂[4-（4-x）]
=-2log²₂x+4log₂x，x∈[1，4]，
令t=log₂x，t∈[0，2]，
则y=-2t²+4t，t∈[0，2]，
由于y=-2t²+4t的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
故当t=1时，函数取最大值2，
故k≥2，
故实数k的取值范围为[2，+∞）

点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质，二次函数的图象与性质，恒成立问题，是函数图象与性质的综合应用，难度中档．