Question

已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=

2

f(

2

)，b=（log₇3）f（log₇3），c=(log2

1

8

)f(log2

1

8

)，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c＞a＞b

B．c＞b＞a

C．a＞b＞c

D．a＞c＞b

Answer 1

分析：构造函数g（x）=xf（x），由已知可判断出函数的奇偶性与单调性，进而判断a，b，c的大小．

解答：解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0，
∴函数g（x）在（-∞，0）上为减函数，且函数图象过原点
又∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴g（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，
∴函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，
又∵|log₇3|＜|

2

|＜|log2

1

8

|，
∴c＞a＞b；
故选：A．

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性问题，其中判断出函数g（x）=xf（x）的单调性与奇偶性是解题的关键．