Question

17．已知函数f（x）=x-$\frac{lnx}{m}$，m∈R，且m≠0．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若m=-1，求证：函数F（x）=x-$\frac{f（x）}{x}$有且只有一个零点．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，然后分m＜0和m＞0两种情况讨论原函数的单调性；
（2）把m=-1代入函数解析式，求出导函数F′（x）=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，设h（x）=x²-1+lnx，利用导数可得h（x）=x²-1+lnx在（0，+∞）上为增函数，结合h（1）=0，可得F′（1）=0且F′（x）有唯一的零点1．从而得到0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0．可得F（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，结合F（x）的最小值为F（1）=0可知函数F（x）=x-$\frac{f（x）}{x}$有且只有一个零点．

解答 （1）解：f′（x）=1-$\frac{1}{mx}$=$\frac{mx-1}{mx}$，x＞0，
当m＜0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{m}$，由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{1}{m}$．
∴f（x）在区间（0，$\frac{1}{m}$）上单调递减，在（$\frac{1}{m}$，+∞）上单调递增；
（2）证明：由已知，F（x）=x-$\frac{lnx}{x}-1$，则F′（x）=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
设h（x）=x²-1+lnx，则h′（x）=2x+$\frac{1}{x}$＞0（x＞0），
故h（x）=x²-1+lnx在（0，+∞）上为增函数，
又由于h（1）=0，因此F′（1）=0且F′（x）有唯一的零点1．
当0＜x＜1时，F′（x）＜0，当x＞1时，F′（x）＞0．
∴F（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
∴F（x）的最小值为F（1）=0．
∴函数F（x）=x-$\frac{f（x）}{x}$有且只有一个零点．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了函数零点存在性定理的用法，考查逻辑思维能力与运算能力，是压轴题．