题目内容
△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．
考点：余弦定理,等差数列的通项公式,等差关系的确定
专题：三角函数的求值
分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；
（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值．
（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值．
解答：
解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，
∴a+c=2b，
由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，
∵sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
则sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
将c=2a代入得：b2=2a2，即b=
a，
∴由余弦定理得：cosB=
=
=
．
∴a+c=2b，
由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，
∵sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
则sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
将c=2a代入得：b2=2a2，即b=
| 2 |
∴由余弦定理得：cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+4a2-2a2 |
| 4a2 |
| 3 |
| 4 |
点评：此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
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已知全集U={x∈N*丨-1≤x≤7}，集合M={2，4，6}，P={3，4，5}，那么集合∁U（M∪P）是（ ）
| A、{-1，0，1，7} |
| B、{1，7} |
| C、{1，3，7} |
| D、∅ |
