Question

已知函数f (x) =
（1）试判断当的大小关系；
（2）试判断曲线和是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；
（3）试比较 (1 + 1×2) (1 + 2×3) ……（1 +2012×2013)与的大小，并写出判断过程．

Answer 1

（1）；
（2）方程无解，故二者没有公切线。
（3） (1 + 1×2) (1 + 2×3) ……（1 +2012×2013) 。

试题分析：（1）设，则     1分
由，时，        2分
在区间单调递减，在区间单调递增，         3分
所以取得最小值为，即        4分
（2）假设曲线有公切线，切点分别为和     5分
因为，所以分别以和为切线的切线方程为       6分
令即              8分
令所以由得显然，当时，，当时，，所以，        9分
所以方程无解，故二者没有公切线。         10分
（3）由（1）得对任意的x＞0都成立，
           11分
ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln[1 + n (n + 1)]＞
=令=2012，      13分
则ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln(1 + 2012×2013)  ＞2×2012-3=4021，
所以(1 + 1×2) (1 + 2×3) ……（1 +2012×2013)           14分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及比较大小问题，通过构造函数，转化成了研究函数的单调性及最值。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。