Question

如图，已知椭圆的中心在原点，左焦点为,右顶点为，设点.                             

⑴求该椭圆的标准方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

⑵过点A的直线l交椭圆于MN两点，点A为MN的中点，求直线l的方程；

⑶过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值．

 

 

Answer 1

解析：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.

     又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

(2)设M(x₁,y₁)，N（x₂，y₂）

由，

∵A为MN的中点，  ∴

∴             即斜率

∴直线l的方程是：    即x+2y-2=0.

(3)当直线BC垂直于x轴时，BC=2，因此△ABC的面积S_△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入，

解得B(,),C(－,－)，

则，又点A到直线BC的距离d=，

∴△ABC的面积S_△ABC=

于是S_△ABC=      

当k=0时，S=1；时，∵  

且     则 且

∴S_△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.

∴S_△ABC的最大值是.