Question

18．设函数f（x）=|x-2|+|x+a|（a∈R）．
（1）若a=1时，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），求a的值．

Answer 1

分析 （1）a=1时，f（x）≥4可化为|x-2|+|x+1|≥4．去掉绝对值符号解不等式，即可求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），则|x-2|+|x+a|=2x的一个根是1，求出a，再进行验证，即可求a的值．

解答 解：（1）a=1时，f（x）≥4可化为|x-2|+|x+1|≥4．
x＜-1时，2-x-x-1≥4，∴x≤-$\frac{3}{2}$；
-1≤x≤2时，2-x+x+1≥4，无解；
x＞2时，x-2+x+1≥4，∴x≥$\frac{5}{2}$．
综上所述，不等式的解集为{x|x≤-$\frac{3}{2}$或x≥$\frac{5}{2}$}；
（2）∵不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），
∴|x-2|+|x+a|=2x的一个根是1，
∴a=0或-2．
a=0时，由|x-2|+|x|≤2x，解得x≥1，合题意；
a=-2时，由2|x-2|≤2x，解得x≥1，合题意；
综上所述，a=0或-2．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．