Question

4．设函数f（x）=e^x-mx-n（m，n∈R）．
（1）当m=1，n=0时，求f（x）的值；
（2）函数f（x）≥0在R上恒成立，求当mn取得最大值时，f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）代入求值，把m=1，n=0代入函数表达式即可得函数式
（2）由泰勒公式得出m，n的最大值，根据导函数求出f（x）的单调区间，求出最值．

解答 解：当m=1，n=0时，代入得
f（x）=e^x-x
（2）由泰勒公式可知
e^x=1+x+$\frac{{x}^{2}}{2！}$+$\frac{{x}^{3}}{3！}$+$\frac{{x}^{n}}{n！}$，
∵e^x＞mx+n在R上恒成立，
∴m的最大值=1，n的最大值=1，
这时f（x）=e^x-x-1，
f′（x）=e^x-1，x＞0时f′（x）＞0，f（x）是增函数，
∴f（x）在[0，1]上的最大值=f（1）=e-2．

点评 考察表达式代入求值，泰勒公式和导函数应用．