题目内容

(本小题满分12分)

20090327

 
已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交于点K,已知|AK|=|AF|,三角形AFK的面积等于8.

   (1)求p的值;

   (2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1,l2,与抛物线相交得两条弦,两条弦

的中点分别为G,H.求|GH|的最小值.

解:(Ⅰ)设,

因为抛物线的焦点,

则.……………………………1分

,………2分

,而点A在抛物线上,

.……………………………………4分

又故所求抛物线的方程为.6分

(2)由,得,显然直线,的斜率都存在且都不为0.

设的方程为,则的方程为.

    由 得,同理可得.……………8分

则

=.(当且仅当时取等号)

所以的最小值是8.……………………………………12分


解析:

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