Question

（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，为AB的中点，且

（1）求证：；

（2）求二面角的平面的正弦值.

Answer 1

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）∵三棱柱为直三棱柱，

∴平面ABC，

又CD 平面ABC，

∴CD，

又AC=BC，D为AB的中点，

∴CD⊥AB，

又,

∴CD⊥平面 ..2分

又平面

∴CD⊥， 3分

又,

∴⊥平面, 5分

又平面，

∴⊥ 6分

（2）

由（1）知，⊥平面，交于点E，

∴过A作AF⊥A1C于点F，连结EF，

∴A1C⊥面AEF， 8分

∴A1C⊥EF，

则∠AFE为所求二面角A- A1C –D的平面角， 9分

在Rt△A1AD中，，

则，

∴, .10分

同理求得 .11分

∴，

故二面角A- A1C –D的平面角的正弦值为 12分

考点：本题考查线面垂直的判定和性质，线线垂直的判定，求二面角