Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

2

，an=(1-

1

n+1

)an+1+

n

3n

（1）设bn=

an

n

，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）先根据a1=

1

2

，an=(1-

1

n+1

)an+1+

n

3n

可得到递推关系式

an+1

n+1

=

an

n

-

1

3n

，进而可得到bn+1-bn=-

1

3n

，再由累差迭加可得到答案．
（2）根据（1）中{b_n}的通项公式求出{a_n}的通项公式，再由错位相减可求出其前n项和．

解答：解：（1）∵a1=

1

2

，an=(1-

1

n+1

)an+1+

n

3n

由已知有

an+1

n+1

=

an

n

-

1

3n

∴bn+1-bn=-

1

3n

利用累差迭加即可求出数列{b_n}的通项公式：bn=

1

2•3n-1

（n∈N^*，n≥2）
经验证知上式对n=1时也成立，
（II）由（I）知an=

n

2•3n-1

=

3

2

•

n

3n

，∴S_n=

3

2

(

1

3

+

2

32

++

n

3n

)=

9

8

-

9+6n

8•3n

点评：本题主要考查递推关系式和数列求和的错位相减法．考查数列的综合应用和计算能力．