Question

已知函数f(x)＝ax²＋1(a>0)，g(x)＝x³＋bx.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；

(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x²＋b.

因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，

即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，

解得a＝3，b＝3.  

(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，

h(x)＝x³＋3x²－9x＋1，

h′(x)＝3x²＋6x－9.  

令h′(x)＝0，得x₁＝－3，x₂＝1.  

h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：

 

x	(－∞，－3)	－3	(－3,1)	1	(1,2)	2
h′(x)	＋	0	－	0	＋
h(x)		28		－4		3