Question

已知函数y=f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=

1

x+1

，求f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：本题函数解析式的求法是利用函数的奇偶性，已知当x＞0时的解析式求出x＜0时的解析式，并且函数是R上的奇函数，可得出f（0）=0，从而求出函数在定义域上的解析式．

解答：解：当x＜0时，-x＞0f(-x)=

1

-x+1

，
∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴-f(x)=

1

-x+1

∴f(x)=

1

x-1

（8分）
当x=0时∵f（-x）=-f（x）
∴f（-0）=-f（0）
∴f（0）=0（12分）
∴f(x)=

1 x+1 ，x＞0 0，x=0 1 x-1 ，x＜0

（14分）

点评：本题考查函数解析式的求法，函数的奇偶性，整体代换的思想，奇函数在x=0处f（0）=0的性质．