Question

【题目】已知函数

（1）求函数f(x)是单调区间；

（2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；

（3）是否存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 是函数的增区间；（－1，0）和（0，3）是函数的减区间;

(2) 实数m的取值范围是;(3) 满足条件的正数k不存在.

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间，（2）分离参变得求函数值域，利用导数求值域，（3）由于为恒正递增函数， 是 上恒正减函数，因此可得矛盾，即推得不存在

试题解析：（1）函数的定义域是

对求导得

由 ，由

因此 是函数的增区间；

（－1，0）和（0，3）是函数的减区间

（2）因为

所以实数m的取值范围就是函数的值域

对

令

∴当x=2时取得最大值，且

又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，

进而有无限趋近于－∞.因此函数的值域是

即实数m的取值范围是

（3）结论：这样的正数k不存在。

证明：假设存在正数k，使得关于x的方程

有两个不相等的实数根，则

根据对数函数定义域知都是正数。

又由（1）可知，当

∴=

再由k>0，可得

由于 不妨设 ，由①和②可得

利用比例性质得

即

由于上的恒正增函数，且

又由于 上的恒正减函数，且 ∴

∴，这与（*）式矛盾。因此满足条件的正数k不存在.