Question

【题目】已知为定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根、（），称为的特征根.

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）已知为给定实数，求的表达式；

（3）把函数，的最大值记作，最小值记作，研究函数，的单调性，令，若恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）非奇非偶函数；理由见解析

（2）

（3）

【解析】

（1）当时，判断为奇函数；当时，取和，非奇非偶函数，得到答案.

（2）根据韦达定理得到，代入表达式化简得到答案.

（3）先证明在内单调递增，，代入不等式得到答案.

（1）当时，，是奇函数

当时，，

且，是非奇非偶函数

综上所述：时，为奇函数；时，是非奇非偶函数.

（2）恒成立

（3）先证明上是递增函数，设

由（2）可知：、是方程的两个实根，

又

在内单调递增，

恒成立