Question

【题目】已知为正整数且，将等式记为式.

（1）求函数，的值域；

（2）试判断当时（或2时），是否存在，（或，，）使式成立，若存在，写出对应，（或，，），若不存在，说明理由；

（3）求所有能使式成立的（）所组成的有序实数对.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）和.

【解析】

（1）先判断的单调性，再根据定义域进一步求值域；

（2）由题干和（1）知，时，，结合式判断可确定不存在；

（3）可通过试值法，先确定，再通过试值法进一步确定，最终锁定，

则，分别讨论和进一步确定即可

（1）设，，，

故在上单增，，当时，，则

（2）由（1）知，设 为单调递增函数，则时，，当时，，所以式不成立；

当时，，，式也不成立，故当时（或2时），不存在，（或，，）使式成立

（3）由得，，即，又由（2）可知，式不成立，故要使式成立，只能取，当时，即，

由题为正整数且，

若，否则原式为右边至多为，式不成立

则，同理，否则原式右边至多为，

因此可得，化简得，

所以，当时；当时，

综上所述，的所有可能解为：或