Question

【题目】动点与定点的距离和该动点到直线的距离的比是常数．

（1）求动点轨迹方程；

（2）已知点，问在轴上是否存在一点，使得过点的任一条斜率不为0的弦交曲线于两点，都有．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，坐标为

【解析】

(1)根据题意列出点满足的关系式,再化简方程即可.

(2) 设,再讨论当⊥轴时可得,即若存在定点,则定点坐标为.再讨论斜率存在时,设的方程为,联立椭圆方程,求出韦达定理,证明即可.

（1）由题意,知,即.

解得曲线的方程为.

（2）法一：设,易知,

①若⊥轴时,由,此时,满足椭圆方程,

∴,解得（舍）,可知若存在定点,则定点坐标为.

②当直线斜率存在时,设斜率为k,

设的方程为,联立椭圆方程,

消去得,∴.

,∴

,

综合①②可知,存在点,使得.

（2）（解法二）设,易知,设.

若不垂直轴,的斜率为,则直线的方程为,

,,

,

即是①,

由,得,

代入①式得

化简,

整理得②,

为使与斜率无关,由②式得出,解得（舍）,

这说明与轴不垂直时,是过的弦,恒有,

若⊥轴时,：,是等腰三角形,,

,,,,

可见是等腰直角三角形,,

综上,过的弦总有.