Question

2．已知点A（0，2）．曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的最小值为5，则a=（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=x-2alnx+4，x∈（0，+∞），再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．

解答 解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，
即B（1，0），又点A（0，2），设P（x，alnx），
$\overrightarrow{AP}$=（x，alnx-2），$\overrightarrow{AB}$=（1，-2），
则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=f（x）=x-2alnx+4，
由于f（x）=x-2alnx+4在（0，+∞）上有最小值5，
且f（1）=5，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．
f′（x）=1-$\frac{2a}{x}$=$\frac{x-2a}{x}$，
a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以没有最小值；故不符合题意；
当a＞0，x∈（0，2a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，2a）是减函数，
在（2a，+∞）是增函数，有最小值为f（2a）=5，
即2a-aln2a+4=5，解得a=$\frac{1}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了利用导数求函数的最值，关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数．