Question

12．已知，正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、M、F分别是AD、CD、CC₁的中点，
求证：（1）EM∥平面BFD₁；
（2）A₁E⊥平面ABF．

Answer 1

分析 （1）设正方向边长为1，以D为原点，分别以线段DC，DA，DD₁的正方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由题意可得：$\overrightarrow{{FD}_{1}}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{FB}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），设平面平面BFD₁的法向量为：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{FD}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0\end{array}\right.$，不妨令z=2，则$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）．由$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}$=0，即可证明EM∥平面BFD₁；
（2）由题意可得坐标$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，-$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{BF}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$），由于：$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{BF}$=0，可证A₁E⊥BF，又AB⊥A₁E，即可证明A₁E⊥平面ABF．

解答 证明：（1）如图，设正方向边长为1，以D为原点，分别以线段DC，DA，DD₁的正方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则由题意可得：D（0，0，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0），D₁（0，0，1），B（1，1，0），F（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{FD}_{1}}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{FB}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），
设平面平面BFD₁的法向量为：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{FD}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}-y+\frac{1}{2}z=0\\ x-\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$，不妨令z=2，则$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）．
$\overrightarrow{ME}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）．
$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}$=0，ME?平面BFD₁；
∴EM∥平面BFD₁；
（2）由题意可得：D（0，0，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0），A₁（1，0，1），B（1，1，0），F（0，1，$\frac{1}{2}$），
可得：$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，-$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{BF}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$），
由于：$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{BF}$=0+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$=0，
所以：A₁E⊥BF，
又∵正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥A₁E，AB∩BF=B，
∴A₁E⊥平面ABF．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了空间直角坐标系的应用，属于中档题．