Question

6．已知函数f（x）=x²+2ax+b，当a≥1时，若存在x₀∈[-1，1]，使得|f（x₀）|≥m对一切b∈R恒成立，则实数m的最大值为0．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=x²+2ax+b在[-1，1]上为增函数，把当x₀∈[-1，1]时，|f（x₀）|≥m对一切b∈R恒成立，转化为|f（-1）|≥m且|f（1）|≥m，作和后利用绝对值的不等式求得|-2a+b+1|+|2a+b+1|≥0，则实数m的最大值可求．

解答 解：∵a≥1，∴f（x）=x²+2ax+b的对称轴方程为x=-a≤-1，
∴f（x）=x²+2ax+b在[-1，1]上为增函数，
∵当x₀∈[-1，1]时，|f（x₀）|≥m对一切b∈R恒成立，
∴|f（-1）|≥m，|f（1）|≥m，
即|-2a+b+1|≥m，|2a+b+1|≥m，
∴|-2a+b+1|+|2a+b+1|≥2m，
∵|-2a+b+1|+|2a+b+1|≥|-2a+b+1+2a+b+1|=|2b+2|，
又∵b∈R，∴|2b+2|≥0，
故|-2a+b+1|+|2a+b+1|≥0．
∴不等式要成立，必须2m≤0，即m≤0．
∴实数m的最大值为0．
故答案为：0．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质，训练了利用绝对值不等式求最值，是中档题．