Question

17．求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆x²+4y²=16有相同焦点，过点$P（\sqrt{5}，\sqrt{6}）$；
（2）与椭圆$\frac{x^2}{8}$+$\frac{y^2}{4}$=1有相同的焦点，直线y=$\sqrt{3}$x为一条渐近线，求双曲线C的方程．
（3）焦点在直线3x-4y-12=0的抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）（2）利用待定系数法求方程；
（3）先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点可得到焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程．

解答 解：（1）椭圆x²+4y²=16，可化为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，焦点（±2$\sqrt{3}$，0）
设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16+m}+\frac{{y}^{2}}{4+m}$=1，
代入$P（\sqrt{5}，\sqrt{6}）$，可得$\frac{5}{16+m}+\frac{6}{4+m}$=1，
∴m=4，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{8}=1$
（2）椭圆$\frac{x^2}{8}$+$\frac{y^2}{4}$=1的焦点为（±2，0），∴c=2，
∵直线y=$\sqrt{3}$x为一条渐近线，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线C的方程为$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$；
（3）因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，
所以其焦点坐标即为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点
所以其焦点坐标为（4，0）和（0，-3）
当焦点为（4，0）时可知其方程中的P=8，所以其方程为y²=16x，
当焦点为（0，-3）时可知其方程中的P=6，所以其方程为x²=-12y，
综上所述，抛物线的方程为y²=16x或x²=-12y．

点评 本题考查曲线方程，考查待定系数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．