Question

已知函数f（x）=lnx-kx+1．求：
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），而f′（x）=

1

x

-k．能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（

1

k

），由此能确定实数k的取值范围．

解答： 解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1

x

-k．
当k≤0时，f′（x）=

1

x

-k＞0，
f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k＞0时，若x∈（0，

1

k

）时，有f′（x）＞0，
若x∈（

1

k

，+∞）时，有f′（x）＜0，
则f（x）在（0，

1

k

）上是增函数，在（

1

k

，+∞）上是减函数．
（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
又由（1）知f（x）的最大值为f（

1

k

），要使f（x）≤0恒成立，
则f（

1

k

）≤0即可，即-lnk≤0，得k≥1．

点评：本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．