Question

12．过原点作直线l和抛物线y=x²-4x+6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 将直线方程代入到抛物线方程，利用中点坐标公式，再消参即可．

解答 解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx．
把它代入抛物线方程y=x²-4x+6，得x²-（4+k）x+6=0．…..2分
因为直线和抛物线相交，所以△＞0，
解得$k∈（-∞，-4-2\sqrt{6}）∪（-4+2\sqrt{6}，+∞）$．…..4分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
由韦达定理得x₁+x₂=4+k，x₁x₂=6．
∴x=$\frac{4+k}{2}$，y=$\frac{4k+{k}^{2}}{2}$…..6分
消去k得y=2x²-4x．…..10分
又2x=x₁+x₂=4+k，所以$x∈（-∞，-\sqrt{6}）∪（\sqrt{6}，+∞）$．
∴点M的轨迹方程为$y=2{x^2}-4x，x∈（-∞，-\sqrt{6}）∪（\sqrt{6}，+∞）$．….12分．

点评 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查轨迹问题，属于中档题．