Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．
（1）求异面直线PD一AE所成角的大小；
（2）求证：EF⊥平面PBC；
（3）求二面角F-PC-B的大小．

Answer 1

分析：因为DA、DP、DC两两垂直，故可用向量法求解．
（1）写出PD和AE的坐标，由夹角公式求出余弦值，再由异面直线所成角的范围求出角即可；
（2）只要证明EF⊥PB、EF⊥PC即可，要证垂直，只要数量积为0．
（3）求出平面PFC和平面PBC的法向量，由夹角公式求解即可．

解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），
D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴

AE

=(1，-1，1)，

DP

=(0，0，2)．
∴

AE

•

DP

=1×0+(-1)×0+1×2=2．
又∵|

AE

|=

3

，|

DP

|=2，
∴cos＜

AE

，

DP

＞=

AE • DP

| AE |•| DP |

=

2

2 3

=

3

3

．
故异面直线AE与DP所成角的大小为arccos

3

3

．
（2）F(0，1，0)，

EF

=(-1，0，-1)，

PB

=(2，2，-2)，

PC

=(2，0，-2)．
∴

EF

•

PB

=（-1）×2+0×2+（-1）×（-2）=0，
∴EF⊥PB．
∵

EF

•

PC

=（-1）×2+0×0+（-1）×（-2）=0，
∴EF⊥PC．
又∵PB∩PC=P，
∴EF⊥平面PBC．
（3）设平面PFC的法向量为m=（x，y，z）.

FC

=(2，-1，0)
则

m• FC =0 m• PC =0.

则

2x-y=0 2x-2z=0.

令z=1，则m=（1，2，1）．
由（2）知平面PBC的法向量为

FE

=(1，0，1)．
cos＜m，

FE

＞

m• FE

|m|| FE |

=

2

6 • 2

=

3

3

．
则二面角F-PC-B的大小为为arccos

3

3

．

点评：本题考查空间的垂直的证明和空间角：异面直线所成的角、二面角的求法，考查运算能力．