Question

3．在正项数列{a_n}中，a₁=1，点A_n（$\sqrt{a_n}，\sqrt{{a_{n+1}}}$）在曲线y²-x²=1上，数列{b_n}中，点（b_n，T_n）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+1上，其中T_n是数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（2）若c_n=a_n•b_n，数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由于a₁=1，点A_n（$\sqrt{a_n}，\sqrt{{a_{n+1}}}$）在曲线y²-x²=1上，可得a_n+1-a_n=1，利用等差数列的通项公式即可得出a_n．数列{b_n}中，点（b_n，T_n）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+1上，可得T_n=-$\frac{1}{2}{b}_{n}$+1，利用递推关系与的等比数列的通项公式可得b_n．
（2）c_n=a_n•b_n=$2n•（\frac{1}{3}）^{n}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，点A_n（$\sqrt{a_n}，\sqrt{{a_{n+1}}}$）在曲线y²-x²=1上，
∴a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项与公差都为1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
∵数列{b_n}中，点（b_n，T_n）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+1上，
∴T_n=-$\frac{1}{2}{b}_{n}$+1，
当n=1时，b₁=-$\frac{1}{2}{b}_{1}$+1，解得b₁=$\frac{2}{3}$．
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=$-\frac{1}{2}{b}_{n}$+1-$（-\frac{1}{2}{b}_{n-1}+1）$=$-\frac{1}{2}{b}_{n}+\frac{1}{2}{b}_{n-1}$，
化为：b_n=$\frac{1}{3}{b}_{n-1}$，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$，
∴b_n=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=2×$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）c_n=a_n•b_n=$2n•（\frac{1}{3}）^{n}$，
∴数列{c_n}的前n项和S_n=2$[\frac{1}{3}+2×（\frac{1}{3}）^{2}+3×（\frac{1}{3}）^{3}+…+n×（\frac{1}{3}）^{n}]$，
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=2$[（\frac{1}{3}）^{2}+2（\frac{1}{3}）^{3}+…+（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n}+n•（\frac{1}{3}）^{n+1}]$，
∴$\frac{2}{3}$S_n=2$[\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n}-n•（\frac{1}{3}）^{n+1}]$=2×$[\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}-n•（\frac{1}{3}）^{n+1}]$=2$[\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-n•（\frac{1}{3}）^{n+1}]$，
化为S_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{2×{3}^{n}}$．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．