题目内容

已知函数 $数学公式$ ．（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若在区间（0，+∞）上，函数f（x）的图象恒在曲线y=2ae^x下方，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，
则f'（x）=（2a-1）e^2x+1≥0在区间（-∞，0）上恒成立．
即 $\text{[math]}$ ，而当x∈（-∞，0）时， $\text{[math]}$ ，故1-2a≤1．
∴a≥0．
（Ⅱ）令 $\text{[math]}$ ，定义域为R．
在区间（0，+∞）上，函数f（x）的图象恒在曲线y=2ae^x下方等价于g（x）＜0在区间（0，+∞）上恒成立．
∵g'（x）=（2a-1）e^2x-2ae^x+1=（e^x-1）[（2a-1）e^x-1]，
①若 $\text{[math]}$ ，令g'（x）=0，得极值点x₁=0， $\text{[math]}$ ，
当x₂＞x₁=0，即 $\text{[math]}$ 时，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0，此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂≤x₁=0，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（0，+∞）上，
有g（x）∈（g（0），+∞），也不合题意；
②若 $\text{[math]}$ ，则有2a-1≤0，此时在区间（0，+∞）上恒有g'（x）＜0，从而g（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
由此求得a的范围是 $\text{[math]}$ ．
综合①②可知，当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ae^x下方．
分析：（I）f（x）在区间（-∞，0）上单调递增?f'（x）=（2a-1）e^2x+1≥0在区间（-∞，0）上恒成立，通过分离参数，利用指数函数的单调性即可得出；
（II）令 $\text{[math]}$ ，定义域为R．则在区间（0，+∞）上，函数f（x）的图象恒在曲线y=2ae^x下方?g（x）＜0在区间（0，+∞）上恒成立．利用导数研究函数g（x）的单调性，通过对a分类讨论即可得出．
点评：本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识和基本方法，同时考查逻辑推理能力和分类讨论的思想方法．