Question

9．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=$\frac{1}{a}$x+$\frac{1}{b}$y（a＞0，b＞0）的最大值为2，则a+b的最小值为（　　）

• A． $\frac{2}{9}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的最大值是2，确定a，b之间的关系，利用基本不等式求最小值．

解答 解：作出不等式对应的平面区域如图：
由z=$\frac{1}{a}$x+$\frac{1}{b}$y（a＞0，b＞0），
得y=$-\frac{b}{a}x++bz$，

平移此直线当经过A时直线的截距最大，此时z最大值2，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$，
解得A（1，4），
代入目标函数得$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=2，
即$\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}=1$，
则（a+b）（$\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}$）=$\frac{5}{2}+\frac{b}{2a}+\frac{2a}{b}$$≥\frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$当且仅当a=b时取等号；
故a+b的最小值为$\frac{9}{2}$；
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及利用基本不等式求最值，利用目标函数的几何意义，确定a，b的关系是解决本题的关键．