Question

1．设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数：①f（x）在D上是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．现已知f（x）=$\sqrt{2x+1}$+k为闭函数，则k的取值范围是（　　）

• A． （-1，-$\frac{1}{2}$]
• B． （-∞，1）
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 若函数f（x）=$\sqrt{2x+1}$+k为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2a+1}+k}\\{b=\sqrt{2b+1}+k}\end{array}\right.$，故a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x$≥-\frac{1}{2}$，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．

解答 解：若函数f（x）=$\sqrt{2x+1}$+k为闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2a+1}+k}\\{b=\sqrt{2b+1}+k}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程x=$\sqrt{2x+1}+k$的两个实数根，
即a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x$≥-\frac{1}{2}$，x≥k）的两个不相等的实数根，
①当k$≤-\frac{1}{2}$时，$\left\{\begin{array}{l}{△=[-（2k+2）]-4（{k}^{2}-1）＞0}\\{f（-\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}（2k+2）+{k}^{2}-1≥0}\\{\frac{2k+2}{2}＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$解得-1＜k≤$-\frac{1}{2}$，
②当k$＞-\frac{1}{2}$时，$\left\{\begin{array}{l}{△=[-（2k+2）]^{2}-4（{k}^{2}-1）＞0}\\{f（k）={k}^{2}-（2k+2）k+{k}^{2}-1＞0}\\{\frac{2k+2}{2}＞k}\end{array}\right.$，无解，
综上，k的取值范围是（-1，-$\frac{1}{2}$]．
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化是解题的关键．