题目内容

17．若函数f（x）=ax3-x2+x-5在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围为[$\frac{1}{3}$，+∞）．

分析 已知函数f（x）=ax3-x2+x-5在（1，2）上单调递增，对其进行求导转化成f′（x）＞0在x∈（1，2）恒成立，从而求解．

解答 解：∵函数f（x）=ax3-x2+x-5在（1，2）上单调递增，
∴f′（x）=3ax2-2x+1≥0，在x∈（1，2）恒成立，
∴a＞$\frac{2x-1}{{3x}^{2}}$在x∈（1，2）恒成立，
令g（x）=$\frac{2x-1}{{3x}^{2}}$，x∈（1，2），
g′（x）=$\frac{-6x（x-1）}{{3x}^{2}}$＜0，
故g（x）在（1，2）递减，
故g（x）＜g（1）=$\frac{1}{3}$，
故a≥$\frac{1}{3}$，
故答案为：[$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 此题主要考查函数的单调性与导数的关系，将问题转化为二次函数的恒成立，是一道中档题．

练习册系列答案
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