Question

4．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一动点P，圆E：（x-1）²+y²=1，过圆心E任意作一条直线与圆E交于A，B两点，圆F：（x+1）²+y²=1，过圆心F任意作一条直线与圆F交于C，D两点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$最小值（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 如图所示，由于$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}$，$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EP}$，$\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{0}$，代入可得$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=${\overrightarrow{EP}}^{2}$-1，同理可得：$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{FP}}^{2}$-1．由于$|\overrightarrow{PE}|+|\overrightarrow{PF}|$=4，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示，
∵$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}$，$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EP}$，$\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}$）•（$\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EP}$）=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}$+${\overrightarrow{EP}}^{2}$+$\overrightarrow{EP}（\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AE}）$=${\overrightarrow{EP}}^{2}$-1，
同理可得：$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{FP}}^{2}$-1．
∵$|\overrightarrow{PE}|+|\overrightarrow{PF}|$=4，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=${\overrightarrow{EP}}^{2}$-1+${\overrightarrow{FP}}^{2}$-1=${\overrightarrow{EP}}^{2}$+${\overrightarrow{FP}}^{2}$-2≥$\frac{（|\overrightarrow{PE}|+|\overrightarrow{PF}|）^{2}}{2}$-2=6．当且仅当$|\overrightarrow{PE}|$=$|\overrightarrow{PF}|$=2时取等号．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$最小值是6．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、向量的三角形法则、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．